Картографические проекции

отображения всей поверхности земного эллипсоида (См. Земной эллипсоид) или какую-либо её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты.

Масштаб. К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в М раз, например в 10 000 000 раз, получают его геометрическую модель - Глобус , изображение которого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1: М (в примере 1: 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. Т. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей (См. Развёртывающаяся поверхность)), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т.п., свойственные всякой карте. Основной характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб μ. Это - величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде к его изображению dσ на плоскости: μ min ≤ μ ≤ μ max , и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль некоторых линий на карте. Т. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в некотором осреднённом виде. Отношение μ/М называют относительным масштабом, или увеличением длины, разность М = 1.

Общие сведения. Теория К. п. - Математическая картография - имеет своей целью изучение всех видов искажений отображений поверхности земного эллипсоида на плоскость и разработку методов построения таких проекций, в которых искажения имели бы или наименьшие (в каком-либо смысле) значения или заранее заданное распределение.

Исходя из нужд картографии (См. Картография), в теории К. п. рассматривают отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость. Т. к. земной эллипсоид имеет малое сжатие, и его поверхность незначительно отступает от сферы, а также в связи с тем, что К. п. необходимы для составления карт в средних и мелких масштабах (М > 1 000 000), то часто ограничиваются рассмотрением отображений на плоскость сферы некоторого радиуса R , отклонениями которой от эллипсоида можно пренебречь или каким-либо способом учесть. Поэтому далее имеются в виду отображения на плоскость хОу сферы, отнесённой к географическим координатам φ (широта) и λ (долгота).

Уравнения любой К. п. имеют вид

x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ) , (1)

где f 1 и f 2 - функции, удовлетворяющие некоторым общим условиям. Изображения меридианов λ = const и параллелей φ = const в данной К. п. образуют картографическую сетку. К. п. может быть определена также двумя уравнениями, в которых фигурируют не прямоугольные координаты х , у плоскости, а какие-либо иные. Некоторые К. п. [например, Перспективные проекции (в частности, ортографические, рис. 2 ) перспективно-цилиндрические (рис. 7 ) и др.] можно определить геометрическими построениями. К. п. определяют также правилом построения соответствующей ей картографической сетки или такими её характеристическими свойствами, из которых могут быть получены уравнения вида (1), полностью определяющие проекцию.

Краткие исторические сведения. Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Научные основы картографии были заложены в Древней Греции (6-1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается Гномоническая проекция , примененная Фалесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли К. п. стали изобретаться и использоваться при составлении географических карт (Гиппарх , Птолемей и др.). Значительный подъём картографии в 16 в., вызванный Великими географическими открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г. Меркатор ом, используется и в настоящее время (см. Меркатора проекция). В 17-18 вв., когда широкая организация топографических съёмок стала поставлять достоверный материал для составления карт на значительной территории, К. п. разрабатывались как основа для топографических карт (французский картограф Р. Бонн, Дж. Д. Кассини), а также выполнялись исследования отдельных наиболее важных групп К. п. (И. Ламберт , Л. Эйлер , Ж. Лагранж и др.). Развитие военной картографии и дальнейшее увеличение объёма топографических работ в 19 в. потребовали обеспечения математической основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей К. п. Это привело К. Гаусс а к разработке фундаментальной геодезической проекции (См. Геодезические проекции). Наконец, в середине 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений К. п. Развитие теории К. п. в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов (Л. Эйлер, Ф. И. Шуберт , П. Л. Чебышев , Д. А. Граве и др.). В трудах советских картографов В. В. Каврайского (См. Каврайский), Н. А. Урмаев а и др. разработаны новые группы К. и., отдельные их варианты (до стадии практического использования), важные вопросы общей теории К. п., классификации их и др.

Теория искажений. Искажения в бесконечно малой области около какой-либо точки проекции подчиняются некоторым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, которым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это - так называемые главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: μ max = а и μ min = b . Если в какой-либо проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их - главные.

Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций (1) устанавливается основными формулами теории искажений.

Классификация картографических проекций по положению полюса используемых сферических координат. Полюсы сферы суть особые точки географической координации, хотя сфера в этих точках не имеет каких-либо особенностей. Значит, при картографировании областей, содержащих географические полюсы, желательно иногда применять не географические координаты, а другие, в которых полюсы оказываются обыкновенными точками координации. Поэтому на сфере используют сферические координаты, координатные линии которых, так называемые вертикалы (условная долгота на них а = const ) и альмукантараты (где полярные расстояния z = const ), аналогичны географическим меридианам и параллелям, но их полюс Z 0 не совпадает с географическим полюсом P 0 (рис. 1 ). Переход от географических координат φ , λ любой точки сферы к её сферическим координатам z , a при заданном положении полюса Z 0 (φ 0 , λ 0) осуществляется по формулам сферической тригонометрии. Всякая К. п., данная уравнениями (1), называется нормальной, или прямой (φ 0 = π/2 ). Если та же самая проекция сферы вычисляется по тем же формулам (1), в которых вместо φ , λ фигурируют z , a , то эта проекция называется поперечной при φ 0 = 0 , λ 0 и косой, если 0 . Применение косых и поперечных проекций приводит к уменьшению искажений. На рис. 2 показана нормальная (а), поперечная (б) и косая (в) ортографические проекции (См. Ортографическая проекция) сферы (поверхности шара).

Классификация картографических проекций по характеру искажений. В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности. Примеры - проекция Меркатор, Стереографическая проекция .

В равновеликих (эквивалентных) К. п. сохраняются площади; точнее, площади фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности - величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой.

Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим. Из них выделяют равнопромежуточные, в которых один из главных масштабов равен единице, и ортодромические, в которых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми.

При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности и ортодромичности несовместимы. Для показа искажений в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные в разных местах сетки или эскиза карты (рис. 3 ); б) изоколы, т. е. линии равного значения искажений (на рис. 8в см. изоколы наибольшего искажения углов со и изоколы масштаба площадей р ); в) изображения в некоторых местах карты некоторых сферических линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий (Л), см. рис. 3а , 3б и др.

Классификация нормальных картографических проекций по виду изображений меридианов и параллелей, являющаяся результатом исторического развития теории К. п., объемлет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования, связанные с геометрическим методом получения проекций, однако рассматриваемые их группы теперь определяют аналитически.

Цилиндрические проекции (рис. 3 ) - проекции, в которых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или какие-либо параллели. В навигации используется проекция Меркатора - равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюгера - равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п. - применяется при составлении топографических карт и обработке триангуляций.

Азимутальные проекции (рис. 5 ) - проекции, в которых параллели - концентрические окружности, меридианы - их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции.

Псевдоконические проекции (рис. 6 ) - проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, средний меридиан - прямой линией, остальные меридианы - кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1: 126 000) карта Европейской части России.

Псевдоцилиндрические проекции (рис. 8 ) - проекции, в которых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы - кривыми.

Поликонические проекции (рис. 9 ) - проекции, в которых параллели изображаются окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, изображающей средний меридиан. При построении конкретных поликонических проекций ставятся дополнительные условия. Одна из поликонических проекций рекомендована для международной (1: 1 000 000) карты.

Существует много проекций, не относящихся к указанным видам. Цилиндрические, конические и азимутальные проекции, называемые простейшими, часто относят к круговым проекциям в широком смысле, выделяя из них круговые проекции в узком смысле - проекции, в которых все меридианы и параллели изображаются окружностями, например конформные проекции Лагранжа, проекция Гринтена и др.

Использование и выбор картографических проекций зависят главным образом от назначения карты и её масштаба, которыми часто обусловливается характер допускаемых искажений в избираемой К. п. Карты крупных и средних масштабов, предназначенные для решения метрических задач, обычно составляют в равноугольных проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и определения соотношения площадей каких-либо территорий - в равновеликих. При этом возможно некоторое нарушение определяющих условий этих проекций (ω ≡ 0 или р ≡ 1 ), не приводящее к ощутимым погрешностям, т. е. допустим выбор произвольных проекций, из которых чаще применяют проекции равнопромежуточные по меридианам. К последним прибегают и тогда, когда назначением карты вообще не предусмотрено сохранение углов или площадей. При выборе К. п. начинают с простейших, затем переходят к более сложным проекциям, даже, возможно, модифицируя их. Если ни одна из известных К. п. не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к составляемой карте со стороны её назначения, то изыскивают новую, наиболее подходящую К. п., пытаясь (насколько это возможно) уменьшить искажения в ней. Проблема построения наивыгоднейших К. п., в которых искажения в каком-либо смысле сведены до минимума, полностью ещё не решена.

К. п. используются также в навигации, астрономии, кристаллографии и др.; их изыскивают для целей картографирования Луны, планет и др. небесных тел.

Преобразование проекций. Рассматривая две К. п., заданные соответствующими системами уравнений: x = f 1 (φ, λ) , y = f 2 (φ, λ) и X = g 1 (φ, λ) , Y = g 2 (φ, λ) , можно, исключая из этих уравнении φ и λ, установить переход от одной из них к другой:

Х = F 1 (x, у) , Y = F 2 (x, у) .

Эти формулы при конкретизации вида функций F 1 , F 2 , во-первых, дают общий метод получения так называемых производных проекций; во-вторых, составляют теоретическую основу всевозможных способов технических приёмов составления карт (см. Географические карты). Например, аффинные и дробно-линейные преобразования осуществляются при помощи картографических трансформаторов (См. Картографический трансформатор). Однако более общие преобразования требуют применения новой, в частности электронной, техники. Задача создания совершенных трансформаторов К. п. - актуальная проблема современной картографии.

Лит.: Витковский В., Картография. (Теория картографических проекций), СПБ. 1907; Каврайский В. В., Математическая картография, М. - Л., 1934; его же, Избр. труды, т. 2, в. 1-3, [М.], 1958-60; Урмаев Н. А., Математическая картография, М., 1941; его же, Методы изыскания новых картографических проекций, М., 1947; Граур А. В., Математическая картография, 2 изд., Л., 1956; Гинзбург Г. А., Картографические проекции, М., 1951; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968.

Г. А. Мещеряков.

2. Шар и его ортографические проекции.

3а. Цилиндрические проекции. Равноугольная Меркатора.

3б. Цилиндрические проекции. Равнопромежуточная (прямоугольная).

3в. Цилиндрические проекции. Равновеликая (изоцилиндрическая).

4а. Конические проекции. Равноугольная.

4б. Конические проекции. Равнопромежуточная.

4в. Конические проекции. Равновеликая.

Рис. 5а. Азимутальные проекции. Равноугольная (стереографическая) слева - поперечная, справа - косая.

Рис. 5б. Азимутальные проекции. Равнопромежуточная (слева - поперечная, справа - косая).

Рис. 5в. Азимутальные проекции. Равновеликая (слева - поперечная, справа - косая).

Рис. 8а. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая проекция Мольвейде.

Рис. 8б. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая синусоидальная проекция В. В. Каврайского.

Рис. 8в. Псевдоцилиндрические проекции. Произвольная проекция ЦНИИГАиК.

Рис. 8г. Псевдоцилиндрические проекции. Проекция БСАМ.

Рис. 9а. Поликонические проекции. Простая.

Рис. 9б. Поликонические проекции. Произвольная проекция Г. А. Гинзбурга.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Картографические проекции" в других словарях:

Математические способы изображения на плоскости поверхности земного эллипсоида или шара. Картографические проекции определяют зависимость между координатами точек на поверхности земного эллипсоида и на плоскости. Из за невозможности развернуть… … Большой Энциклопедический словарь

КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ, системные методы нанесения меридианов и параллелей Земли на плоскую поверхность. Только на глобусе можно достоверно представить территории и формы. На плоских картах больших территорий искажения неизбежны. Проекции это… … Научно-технический энциклопедический словарь

Классификации картографических проекций

По характеру искажений проекции делятся на равноугольные, равновеликие и произвольные.

Равноугольные (или конформные) проекции сохраняют величину углов и формы бесконечно малых фигур . Масштаб длин в каждой точке постоянен по всем направлениям (что обеспечивается закономерным увеличением расстояний между соседними параллелями по меридиану) и зависит только от положения точки. Эллипсы искажений выражаются окружностями различных радиусов.

Для каждой точки в равноугольных проекциях справедливы зависимости:

/ L i = a = b = m = n; а> = 0°; 0 = 90°; k = 1 и а 0 =0° (или ±90°).

Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту (например, при решении навигационных задач).

Равновеликие (или эквивалентные) проекции не искажают площади . В этих проекциях площади эллипсов искажений равны . Увеличение масштаба длин по одной оси эллипса искажений компенсируется уменьшением масштаба длин по другой оси, что вызывает закономерное уменьшение расстояний между соседними параллелями по меридиану и, как следствие, - сильное искажение форм.

Такие проекции удобны для измерения площадей объектов (что, например, существенно для некоторых экономических или морфометрических карт).

В теории математической картографии доказывается, что нет, и не может быть проекции, которая была бы одновременно и равноугольной, и равновеликой . Вообще, чем больше искажения углов, тем меньше искажения площадей и наоборот

Произвольные проекции искажают и углы, и площади . При их построении стремятся найти наиболее выгодное для каждого конкретного случая распределение искажений, достигая как бы некоторого компромисса. Эта группа проекций используется в случаях, когда чрезмерные искажения углов и площадей одинаково нежелательны . По своим свойствам произвольные проекции лежат между равноугольными и равновеликими . Среди них можно выделить равнопромежуточные (или эквидистантные) проекции, во всех точках которых масштаб по одному из главных направлений постоянен и равен главному.

Классификация картографических проекций по виду вспомогательной геометрической поверхности .

По виду вспомогательной геометрической поверхности различают проекции: цилиндрические, азимутальные и конические.

Цилиндрическими называют проекции, в которых сеть меридианов и параллелей с поверхности эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного (или секущего) цилиндра, а затем цилиндр разрезается по образующей и развертывается в плоскость (рис. 6).

Рис.6. Нормальная цилиндрическая проекция

Искажения отсутствуют на линии касания и минимальны вблизи нее. Если цилиндр секущий, то имеется две линии касания, а значит 2 ЛНИ. Между ЛНИ искажения минимальны.

В зависимости от ориентировки цилиндра относительно оси земного эллипсоида различают проекции:

– нормальные, когда ось цилиндра совпадает с малой осью земного эллипсоида; меридианы в этом случае представляют собой равноотстоящие параллельные прямые, а параллели – прямые, им перпендикулярные линии;

– поперечные, когда ось цилиндра лежит в плоскости экватора; вид сетки: средний меридиан и экватор – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии (рис. в).

– косые, когда ось цилиндра составляет с осью эллипсоида острый угол; в косых цилиндрических проекциях меридианы и параллели – кривые линии.

Азимутальными называют проекции, в которых сеть меридианов и параллелей переносится с поверхности эллипсоида на касательную (или секущую) плоскость (рис.7).

Рис. 7. Нормальная азимутальная проекция

Изображение около точки касания (или линии сечения) плоскости земного эллипсоида почти совсем не искажается. Точка касания является точкой нулевых искажений.

В зависимости от положения точки касания плоскости на поверхности земного эллипсоида среди азимутальных проекций различают:

– нормальные, или полярные, когда плоскость касается Земли в одном из полюсов; вид сетки: меридианы – прямые линии, радиально расходящиеся из полюса, параллели – концентрические окружности с центрами в полюсе (рис. 7);

– поперечные, или экваториальные, когда плоскость касается эллипсоида в одной из точек экватора; вид сетки: средний меридиан и экватор – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии (в некоторых случаях параллели изображаются прямыми линиями;

– косые, или горизонтные, когда плоскость касается эллипсоида в какой-либо точке, лежащей между полюсом и экватором. В косых проекциях только средний меридиан, на котором расположена точка касания, представляет собой прямую, остальные меридианы и параллели – кривые линии.

Коническими называются проекции, в которых сеть меридианов и параллелей с поверхности эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного (или секущего) конуса (рис. 8).

Рис. 8. Нормальная коническая проекция

Искажения мало ощутимы вдоль линии касания или двух линий сечения конуса земного эллипсоида, которые являются линией (линиями) нулевых искажений ЛНИ. Подобно цилиндрическим конические проекции делятся на:

– нормальные, когда ось конуса совпадает с малой осью земного эллипсоида; меридианы в этих проекциях представлены прямыми линиями, расходящимися из вершины конуса, а параллели – дугами концентрических окружностей.

– поперечные, когда ось конуса лежит в плоскости экватора; вид сетки: средний меридиан и параллель касания – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии;

– косые, когда ось конуса составляет с осью эллипсоида острый угол; в косых конических проекциях меридианы и параллели – кривые линии.

В нормальных цилиндрических, азимутальных и конических проекциях картографическая сетка ортогональна – меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами, что является одним из важных диагностических признаков этих проекций.

Если при получении цилиндрических, азимутальных и конических проекций использовать геометрический метод (линейное проектирование вспомогательной поверхности на плоскость), то такие проекции называют перспективно-цилиндрическими, перспективно-азимутальными (обыкновенными перспективными) и перспективно-коническими соответственно.

Поликоническими называются проекции, в которых сеть меридианов и параллелей с поверхности эллипсоида переносится на боковые поверхности нескольких конусов, каждый из которых разрезается по образующей и развертывается в плоскость. В поликонических проекциях параллели изображаются дугами эксцентрических окружностей, центральный меридиан представляет собой прямую, все остальные меридианы – кривые линии, симметричные относительно центральному.

Условными называются проекции, при построении которых не прибегают к использованию вспомогательных геометрических поверхностей. Сеть меридианов и параллелей строят по какому-нибудь заранее заданному условию. Среди условных проекций можно выделитьпсевдоцилиндрические , псевдоазимутальные и псевдоконические проекции, сохраняющие от исходных цилиндрических, азимутальных и конических проекций вид параллелей. В этих проекцияхсредний меридиан – прямая линия, остальные меридианы – кривые линии .

К условным проекциям относятся также многогранные проекции , которые получают путем проектирования на поверхность многогранника, касающегося или секущего земной эллипсоид. Каждая грань представляет собой равнобочную трапецию (реже – шестиугольники, квадраты, ромбы). Разновидностью многогранных проекций являются многополосные проекции , причем полосы могут нарезаться и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции выгодны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы совсем невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Основное неудобство многогранных проекций состоит в невозможности совмещения блока листов карт по общим рамкам без разрывов.

Практически ценным является подразделение по территориальному охвату. По территориальному охвату выделяются картографические проекции для карт мира, полушарий, материков и океанов, карт отдельных государств и их частей. По этому принципу построены таблицы-определители картографических проекций. Кроме того, в последнее время предпринимаются попытки к разработке генетических классификаций картографических проекций, построенных на виде описывающих их дифференциальных уравнений. Эти классификации охватывают все возможное множество проекций, но являются крайне ненаглядными, т.к. не связаны с видом сетки меридианов и параллелей.

Карта — плоское, искаженное изображение земной поверхности, на котором искажения подчинены определенному математическому закону.
Положение любой точки на плоскости может быть определено пересечением двух координатных линий, которые однозначно соответствовали бы координатным линиям на Земле (?, ?). Отсюда следует, что для получения плоского изображения земной поверхности нужно сначала нанести на плоскость систему координатных линий, которая соответствовала бы таким же линиям на сфере. Имея нанесенную на плоскость систему меридианов и параллелей, можно теперь нанести на эту сетку любые точки Земли.
Картографическая сетка — условное изображение географической сетки земных меридианов и параллелей на карте в виде прямых или кривых линий.
Картографическая проекция — способ построения картографической сетки на плоскости и изображение на ней сферической поверхности Земли, подчиненный определенному математическому закону.
Картографические проекции по характеру искажений делятся на:
1. Равноугольные (конформные) = проекции, не искажающие углов. Сохраняется подобие фигур. Масштаб изменяется с изменением? и?. Отношение площадей не сохраняется (о. Гренландия? Африке, SАфр. ? 13,8 Sо.Гренландия).
2. Равновеликие (эквивалентные) — проекции, на которых масштаб площадей везде одинаков и площади на картах пропорциональны соответствующим площадям в натуре. Равенства углов и подобия фигур не сохраняются. Масштаб длин в каждой точке не сохраняется по разным направлениям.
3. Произвольные — проекции, заданные несколькими условиями, но не обладающие ни свойствами равноугольности, ни свойствами равновеликости. Ортодромическая проекция — дуга большого круга изображается прямой линией.

Картографические проекции по способу построения картографической сетки делятся на:
1. Цилиндрические — проекции, на которых картографическая сетка меридианов и параллелей получается путем проецирования земных координатных линий на поверхность цилиндра, касающегося условного глобуса (или секущего его), с последующей разверткой этого цилиндра на плоскость.
Прямая цилиндрическая проекция — ось цилиндра совпадает с осью Земли;
Поперечная цилиндрическая проекция — ось цилиндра перпендикулярна оси Земли;
Косая цилиндрическая проекция — ось цилиндра расположена к оси Земли под углом отличным от 0° и 90°.
2. Конические — проекции, на которых картографическая сетка меридианов и параллелей получается путем проецирования земных координатных линий на поверхность конуса, касающегося условного глобуса (или секущего его), с последующей разверткой этого конуса на плоскость. В зависимости от положения конуса относительно оси Земли различают:
Прямую коническую проекцию — ось конуса совпадает с осью Земли;
Поперечную коническую проекцию — ось конуса перпендикулярна оси Земли;
Косую коническую проекцию — ось конуса расположена к оси Земли под углом отличным от 0° и 90°.
3. Азимутальные — проекции, в которых меридианы — радиальные прямые, исходящие из одной точки (центральной), под углами равными соответствующим углам в натуре, а параллели?-концентрические окружности, проведенные из точки схождения меридианов (ортографические, внешние, стереографические, центральные, полярные, экваториальные, горизонтные).
Меркаторская проекция
Предложенная Меркатором проекция относится к разряду нормальных цилиндрических равноугольных проекций.
Карты, построенные в этой проекции, называются меркаторскими, а проекция — проекция Меркатора или меркаторская проекция.
В меркаторской проекции все меридианы и параллели прямые и взаимноперпендикулярные линии, а линейная величина каждого градуса широты постепенно увеличивается с возрастанием широты, соответственно растягиванию параллелей, которые все в этой проекции по длине равны экватору.
Проекция Меркатора по характеру искажений относится к классу равноугольных.
Для получения морской навигационной карты в проекции Меркатора условный глобус помещают внутрь касательного цилиндра таким образом, чтобы их оси совпали.
Затем проецируют из центра глобуса меридианы на внутренние стенки цилиндра. При этом все меридианы изобразятся прямыми, параллельными между собой и перпендикулярными экватору линиями. Расстояния между ними равны расстояниям между теми же меридианами по экватору глобуса. Все параллели растянутся до величины экватора. При этом параллели, ближайшие к экватору, растянутся на меньшую величину и по мере удаления от экватора и приближения к полюсу величина их растяжения увеличивается.
Закон растяжения параллелей (рис. 1).

а) б) в)
Рис. 1. Закон растяжения параллелей
R и r – радиус Земли и произвольной параллели (СС?).
? – широта произвольной параллели (СС?).
Из прямоугольного треугольника ОС?К получим:
R = r sec?
Обе части равенства умножим на 2?, получим:
2? R = 2? r sec?
где 2? R – длина экватора;
2? r – длина параллели в широте?.
Следовательно, длина экватора равна длине соответствующей параллели, умноженной на секанс широты этой параллели. Все параллели, удлиняясь до длины экватора, растягиваются пропорционально sec?.
Разрезав цилиндр по одной из образующих, и развернув его на плоскость, получим сетку взаимно перпендикулярных меридианов и параллелей (рис. 1б).
Эта сетка не удовлетворяет требованию равноугольности, т.к. изменились расстояния между меридианами по параллели, ибо каждая параллель растянулась и стала равной длине экватора. В результате фигуры с поверхности Земли перенесутся на сетку в искаженном виде. Углы в природе не будут соответствовать углам на сетке.
Очевидно, для того, чтобы не было искажений, т.е. чтобы сохранить на карте подобие фигур, а следовательно, и равенство углов, необходимо все меридианы в каждой точке растянуть на столько, на сколько растянулись в данной точке параллели, т.е. пропорционально sec?. При этом эллипс на проекции вытянется в направлении малой полуоси и станет кругом, подобным острову круглой формы на поверхности Земли. Радиус круга станет равным большой полуоси эллипса, т.е. будет в sec? раз больше круга на поверхности Земли (рис. 1в).
Полученная таким образом картографическая сетка и проекция будут полностью удовлетворять требованиям, предъявленным к морским навигационным картам, т.е. проекцией Меркатора.
Поперечная цилиндрическая проекция
Поперечная цилиндрическая проекция применяется для составления морских навигационных карт и карт-сеток на приполюсные районы для?Г > 75?80°N(S).
Как и нормальная цилиндрическая проекция Меркатора, эта проекция является равноугольной (не искажает углы).
При построении и использовании карт в данной проекции применяется система квазигеографических координат («квази» (лат.) – как бы»), которая получается следующим образом (рис. 2):

Рис. 2. Поперечная цилиндрическая проекция
? Северный полюс условно помещается в точку с координатами: ?Г = 0°, ?Г = 180° (р-н Тихого океана), а южный полюс – в точку с координатами: ?Г = 0°, ?Г = 0° (р-н Гвинейского залива).
Полученные точки называются квазиполюсами: PNq – северным, PSq – южным.
? Проведя квазимеридианы и квазипараллели относительно квазиполюсов, получим новую систему координат, повернутую на 90° относительно географической.
Координатными осями этой системы будут:
1. начальный квазимеридиан – большой круг, проходящий через северный географический полюс (PN) и квазиполюсы (PNq и PSq), он совпадает с географическим (?Г = 0° и?Г = 180°) Гринвичским (начальным) меридианом;
2. квазиэкватор – большой круг, проходящий через географический полюс (PN) и точки на экваторе с долготами: ?Г = 90°Е (р-н Индийского океана) и?Г = 90°W (р-н Галапагоских островов).
Координатными линиями этой системы являются:
3. квазимеридианы – большие круги, проходящие через квазиполюсы;
4. квазипараллели – малые круги, плоскости которых параллельны плоскости квазиэкватора.
Положение любой точки на поверхности Земли на картах в поперечной цилиндрической проекции определяется квазиширотой (?q) и квазидолготой (?q).
? Квазиширота (?q) — угол при центре Земли (шара) между плоскостью квазиэкватора и радиусом, проведенным в данную точку земной поверхности. Квазиширота определяет положение квазипараллелей; отсчитывается от квазиэкватора к квазиполюсам: к PNq — + ?q и к PSq — –?q от 0° до 90°.
? Квазидолгота (?q) — двугранный угол при квазиполюсе между плоскостями начального квазимеридиана и квазимеридиана данной точки. Квазидолгота определяет положение квазимеридианов; отсчитывается от географического полюса PN по квазиэкватору к востоку (+?q) и к западу (–?q) от 0° до 180°.
Началом отсчета квазигеографических координат является географический северный полюс (т. PN).
Основные уравнения поперечной цилиндрической равноугольной проекции имеют вид:

y = R ?q; m = n = sec ?q
где

– радиус Земли (м);
m и n – частные масштабы по квазимеридиану и квазипараллели.

где а = 3437,74?.
Для эллипсоида Красовского: а = 6378245 м.
Переход от географических координат к квазикоординатам выполняется по формулам:
sin ?q = ?cos ? cos ?; tg ?q = ctg ? sin ?
sin ? = ?cos ?q cos ?q; tg ? = ?ctg ?q sin ?q
Прямой линией на такой карте изображается квазилоксодромия, пересекающая квазимеридианы под одним и тем же квазикурсом Кq (рис. 3).

Рис. 3. Квазилоксодромия
Локсодромия, вследствие кривизны географических меридианов, сходящихся на полюсе, будет изображаться кривой линией, обращенной выпуклостью к экватору.
Ортодромия же представит собой кривую малой кривизны, обращенную выпуклостью в сторону ближайшего квазиполюса.
Таким образом, при построении квазигеографической сетки карты используются формулы, аналогичные формулам для нормальной проекции Меркатора с заменой в них географических координат квазигеографическими.
Главный масштаб карт и карт-сеток относят к квазиэкватору.
Географические меридианы изображаются кривыми, близкими к прямым линиям.
Географические параллели изображаются кривыми линиями, близкими к окружностям.
Квазикурс (Кq) – угол между квазисеверной частью квазимеридиана и направлением носовой части продольной оси судна (отсчитывается по часовой стрелке от 0° до 360°).
Для перехода от географических направлений к направлениям в квазигеографической системе координат используется угол перехода Q – угол между географическим меридианом и квазимеридианом, значение которого можно получить из треугольника АPNPNq (рис. 2).

Кq = ИК? Q
В широтах >80°, когда соs ?q ? 1, получим:
sin Q = sin ?
т.е. в высоких широтах угол перехода практически равен долготе точки.
Прокладка курса на такой карте относительно географических или квазигеографических меридианов осуществляется по формуле:
ИК = Кq + ?; Кq = ИК? ?
Для прокладки расстояний необходимо пользоваться специальными вертикальными шкалами с линейным масштабом в морских милях, находящимися за боковыми рамками карт.
Для приполюсных районов Северного Ледовитого океана (СЛО) издаются карты М 1:500.000, на которых красным цветом нанесены квазипараллели, а черным цветом – географические меридианы и параллели с двойной оцифровкой красным и зеленым цветом. Это позволяет использовать карту-сетку в двух районах, симметричных относительно географических меридианов 0°…..180° и 90°Е…..90°W.
По аналогии с нормальной проекцией Меркатора на картах и картах-сетках в поперечной проекции Меркатора прямой линией изображается квазилоксодромия – кривая на поверхности Земли, пересекающая квазимеридианы под постоянным углом Кq (при?q ? 15° ее можно принимать за кратчайшую линию).
Уравнение квазилоксодромии:
?q2 ? ?q1 = tg Кq (Dq2 ? Dq1)
где?q2 ? ?q1 – разность квазидолгот точек;
Dq2 ? Dq1 – разность квазимеридиональных частей (табл. 26 «МТ-75» или табл. 2.28а «МТ-2000»).
Если известен главный масштаб карты или карты-сетки
МГ = 1: CГ
по квазиэкватору, то частный масштаб
МТ = 1: CТ
в точке с квазиширотой?q вычисляется по формуле:
МТ = МГ sec ?qТ
или
CТ = CГ cos ?qТ
(масштаб карт увеличивается по мере удаления от квазиэкватора).
Перспективные картографические проекции
Перспективные проекции применяются для составления некоторых справочных и вспомогательных карт (обзорные карты обширных районов, ортодромические карты, ледовые карты и пр.).
Эти проекции представляют собой частный случай азимутальных проекций.
(Азимутальные проекции – проекции, в которых меридианами являются радиальные прямые, исходящие из одной точки (центральной точки) под углами, равными соответствующим углам в натуре, а параллели – концентрические окружности, проведенные из точки схождения меридианов).

Рис. 4. Перспективные проекции
В перспективных проекциях (рис. 4) поверхность Земли (сферы) переносится на картинную плоскость методом проецирования с помощью пучка прямых, исходящих из одной точки – точки зрения (ТЗ).
Картинная плоскость может отстоять от поверхности сферы на некотором расстоянии (КП1), касаться сферы (КП2), или пересекать ее.
Точка зрения (т. О) лежит в одной из точек на перпендикуляре к картинной плоскости, проходящем через центр сферы.
Точку пересечения картинной плоскости с перпендикуляром называют центральной точкой карты (ЦТ).
В зависимости от положения точки зрения (ТЗ) одна и та же точка (т. К0) будет отстоять на различных расстояниях? от ЦТ карты, что и будет определять характер искажений, присущих данной проекции.
Наиболее распространенными перспективными проекциями являются – гномоническая (центральная) и стереографическая.
В гномонической проекции точка зрения (ТЗ) совпадает с центром сферы (ТЗ — в т. О1).
Сетка меридианов и параллелей карты строится по формулам, связывающим прямоугольные координаты точек с их географическими координатами.
В зависимости от положения центральной точки (ЦТ) карты, гномоническая проекция может быть (рис. 5):
a. нормальной (полярной) – если центральная точка (ЦТ) совмещена с географическими полюсом (рис. 5а);
b. экваториальной (поперечной) – если центральная точка (ЦТ) расположена на экваторе (рис. 5б);
c. косой – если центральная точка (ЦТ) расположена в некоторой промежуточной широте (рис. 5в).

а) б) в)
Рис. 5. Гномонические проекции
Общие свойства карт в гномонической проекции:
1) большие искажения как формы, так и размеров фигур, возрастающие по мере удаления от центральной точки (ЦТ) карты, поэтому измерение расстояний и углов на такой карте затруднено.
Измеряемые по карте углы и расстояния, называемые гномоническими, могут довольно значительно отличаться от истинных значений, вследствие чего для точных измерений карты в данной проекции не применяются;
2) отрезки дуги большого круга (ортодромии) изображаются прямыми линиями, что позволяет использовать гномоническую проекцию при построении ортодромических карт.
Карты в гномонической проекции строятся, как правило, в мелких масштабах для участков поверхности Земли меньше полушария, а сжатие Земли не учитывается.
В стереографической проекции картинная плоскость касается поверхности сферы, а точка зрения (ТЗ) расположена в т. О2 (рис. 4), являющейся антиподом точки касания. Эта проекция равноугольная, однако, для решения навигационных задач она неудобна, так как основные линии – локсодромия и ортодромия – изображаются в этой проекции сложными кривыми.
Стереографическая проекция является одной из основных для построения справочных и обзорных карт обширных территорий.
Равноугольная картографическая проекция Гаусса
Равноугольная проекция Гаусса применяется для составления топографических и речных карт, а также и планшетов.
Основной картографической сеткой этой проекции является сетка прямоугольных координат.
В прямоугольной системе координат проекции Гаусса вся поверхность земного эллипсоида разбита на 60 6-ти градусных зон, ограниченных меридианами, каждая из которых имеет свое начало координат – точку пересечения осевого меридиана зоны с экватором.

Рис. 6. Равноугольная проекция Гаусса
Счет зон введется от Гринвичского меридиана к Е от № 1 до № 60. Любую заданную точку в пределах зоны (т. А – рис. 6) получают в пересечении 2-х координатных линий:
1. дуги эллипса nAn?, параллельной осевому меридиану зоны и
2. кратчайшей линии АА?, проведенной из данной точки А перпендикулярно осевому меридиану.
За начало координат в каждой зоне принимается точка пересечения осевого меридиана с экватором.
Удаление точки А? (основание перпендикуляра) от экватора определяется абсциссой Х, а удаление малого круга nn? от осевого меридиана – ординатой У.
Абсциссы Х во всех зонах отсчитываются в обе стороны от экватора («+» — к N).
Ординате У приписывается знак «плюс» (+), когда заданная точка удалена к Е (востоку) от осевого меридиана зоны, и знак «минус» (–), когда заданная точка удалена от осевого меридиана к W (западу).
Для определения отечественного номера зоны, в которой расположена заданная точка с долготой?, применяют формулу:
n = (? + 3°)/6
(ближайшее целое число от 1 до 60).
Деление долготы? производится до ближайшего целого числа (для? = 55°Е? n = 10).
Для вычисления долготы L0 осевого меридиана зоны применяют формулу:
L0 = 6 n ? 3°
(для n = 10 ? L0 = 57°Е).
N – международная нумерация зон (от меридиана 180° к востоку).
Для?E: N = n + 30 и n = N – 30 (для восточного полушария).
Для?W: N = n – 30 и n = N + 30 (для западного полушария).
В табл. 2.31а «МТ-2000» указаны значения отечественных (n) и международных (N) номеров долготных зон, их границы и долгота (?0) осевого меридиана? см. табл. 10.1.
Прямоугольная система координат применяется при производстве топографических работ, составлении топографических карт, расчете направлений и расстояний между точками при малых расстояниях.
Граничными линиями карты в проекции Гаусса служат меридианы и параллели.
Положение заданной точки на карте определяют указанием плоских прямоугольных координат Х и У.
Этим координатам соответствуют километровые линии:
Х = const – параллельна экватору, и
У = const – параллельная осевому меридиану зоны.
Плоские координаты Х и У являются функциями географических координат точки и в общем виде могут быть представлены выражениями:
X = f1 (?,l); Y = f2 (?,l)
где l – разность долгот заданной точки и осевого меридиана, т.е.
l = ? ? L0
Вид функций f1 и f2 выводится так, чтобы обеспечивалось свойство равноугольности проекции при постоянном масштабе вдоль осевого меридиана зоны.
Километровые линии – линии одинаковых значений абсцисс X = const или ординат Y = const, выраженные целым числом км.
Километровые линии (X = const и У = const) ? два семейства взаимно перпендикулярных прямых и оцифровываются соответствующими значениями координат в км. На картах в проекции Меркатора линии X изображаются кривыми, обращенными выпуклостью к полюсу, а линии Y – кривыми, выпуклостью к осевому меридиану и расходящимся по мере удаления от экватора.
Для исключения отрицательных значений ординат оцифровка осевого меридиана увеличена на 500 км.
(При Х = 6656 и У = 23612 ? заданная точка удалена от экватора по осевому меридиану на 6656 км, находится в 23-й зоне и имеет условную ординату 612, а фактически? 112 км к Е).
Прямоугольные координаты Х и У выражают обычно в метрах.
Рамки карт в проекции Гаусса разбиты на минуты по широте и долготе. Значения широт и долгот параллелей и меридианов, ограничивающих карту, надписываются в углах рамки.
Меридианы и параллели на карту не наносятся. При необходимости их можно провести через соответствующие деления минут широты и долготы на рамках карты.
Угол между километровой линией У = const и истинным меридианом называется сближением или схождением меридианов. Этот угол (?) отсчитывается от северной части истинного меридиана по часовой стрелке до северной части километровой линии У = const
Схождению меридианов приписывают знак «плюс» (+), если заданная точка расположена к Е (востоку) от осевого меридиана, и знак «минус» (–), если она расположена к W (западу) от осевого меридиана зоны.
При известных координатах? и? заданной точки угол? вычисляется по формуле:
? = (? ? L0) sin ?
где L0 – долгота осевого меридиана зоны.

Ввиду ограниченной ширины зоны кратчайшие линии на картах в проекции Гаусса, изображаются практически прямыми линиями, а масштаб по всей карте постоянен.
Эти свойства, а также наличие сетки прямоугольных координат являются главными причинами широкого применения данной проекции при всех топографических, геодезических и гидрографических работах.
Для решения задач, связанных с использованием как географических, так и прямоугольных координат точек, а также с прокладкой отрезков локсодромий, применяются карты, составленные в нормальной проекции Меркатора с дополнительно нанесенной сеткой прямоугольных координат Гаусса. Основные свойства таких карт полностью соответствуют таковым для нормальной проекции Меркатора.

При переходе от физической поверхности Земли к ее отображению на плоскости (на карте) выполняют две операции: проектирование земной поверхности с ее сложным рельефом на поверхность земного эллипсоида, размеры которого установлены посредством геодезических и астрономических измерений, и изображение поверхности эллипсоида на плоскости посредством одной из картографических проекций.
Картографическая проекция - определенный способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости.
Отображение земной поверхности на плоскости производится различными способами. Самый простой из них - перспективный . Суть его заключается в проектировании изображения с поверхности модели Земли (глобуса, эллипсоида) на поверхность цилиндра или конуса с последующим разворотом в плоскость (цилиндрические, конические) или непосредственным проектированием сферического изображения на плоскость (азимутальные).
Одним из простых способов понимания того, как картографические проекции изменяют пространственные свойства, является визуализация проекции света сквозь Землю на поверхность, которая называется проекционной поверхностью.
Представьте себе, что поверхность Земли прозрачна, и на ней нанесена картографическая сетка. Оберните кусок бумаги вокруг Земли. Источник света в центре Земли отбросит тени от сетки координат на кусок бумаги. Вы можете теперь развернуть бумагу и положить ее на плоскость. Форма координатной сетки на плоской поверхности бумаги очень отличается от ее формы на поверхности Земли (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Картографическая сетка географической системы координат, спроектированная на цилиндрическую поверхность

Проекция карты исказила картографическую сетку; объекты, расположенные у полюса, вытянуты.
Построение перспективным способом не требует использования законов математики. Обратите внимание на то, что в современной картографии картографические сетки строят аналитическим (математическим) способом. Его суть заключается в расчете положения узловых точек (точек пересечения меридианов и параллелей) картографической сетки. Расчет выполняется на основе решения системы уравнений, которые связывают географическую широту и географическую долготу узловых точек (φ, λ ) с их прямоугольными координатами (х, у ) на плоскости. Эта зависимость может быть выражена двумя уравнениями вида:

х = f 1 (φ, λ); (5.1)
у = f 2 (φ, λ), (5.2)

называемыми уравнениями картографических проекций. Они позволяют вычислять прямоугольные координаты х, у изображаемой точки по географическим координатам φ и λ . Число возможных функциональных зависимостей и, следовательно, проекций неограниченно. Необходимо лишь, чтобы каждая точка φ , λ эллипсоида изображалась на плоскости однозначно соответствующей точкой х, у и чтобы изображение было непрерывным.

5.2. ИСКАЖЕНИЯ

Разложить сфероид на плоскость нисколько не легче, чем расплющить кусок арбузной кожуры. При переходе на плоскость, как правило, искажаются углы, площади, формы и длины линий, поэтому для конкретных целей можно создать проекции, которые значительно уменьшат какой-либо один вид искажений, например, площадей. Картографическим искажением называют нарушение геометрических свойств участков земной поверхности и расположенных на них объектов при их изображении на плоскости .
Искажения всех видов тесно связаны между собой. Они находятся в такой зависимости, что уменьшение одного вида искажения сразу же влечет увеличение другого. При уменьшении искажений площадей увеличиваются искажения углов и т.д. Рис. 5.2 демонстрирует, как трехмерные объекты сжимаются для того, чтобы их можно было поместить на плоскую поверхность.

Рис. 5.2. Проектирование сферической поверхности на поверхность проекции

На различных картах искажения могут быть различных размеров: на крупномасштабных они практически неощутимы, но на мелкомасштабных они бывают очень велики.
В середине XIX века французским ученым Николя Аугустом Тиссо была дана общая теория искажений. В своей работе он предложил использовать специальные эллипсы искажений, которые представляют собой бесконечно малые эллипсы в любой точке карты, являющиеся отображением бесконечно малых окружностей в соответствующей точке на поверхности земного эллипсоида или шара. Эллипс становится окружностью в точке нулевых искажений. Изменение формы эллипса отражает степень искажения углов и расстояний, а размера - степень искажения площадей.

Рис. 5.3. Эллипс на карте (а ) и соответствующий ему круг на глобусе (б )

Эллипс искажений на карте может занимать различное положение относительно меридиана, проходящего через его центр. Ориентировка эллипса искажений на карте обычно определяется азимутом его большой полуоси . Угол между северным направлением меридиана, проходящего через центр эллипса искажений, и его ближайшей большой полуосью называется углом ориентировки эллипса искажений. На рис. 5.3, а этот угол обозначен буквой А 0 , а соответствующий ему угол на глобусе α 0 (рис. 5.3, б ).
Азимуты любого направления на карте и на глобусе всегда отсчитываются от северного направления меридиана по ходу часовой стрелки и могут иметь значения от 0 до 360°.
Любое произвольное направление (ОК ) на карте или на глобусе (О 0 К 0 ) может быть определено или азимутом данного направления (А - на карте, α - на глобусе) или углом между ближайшей к северному направлению меридиана большой полуосью и данным направлением (v - на карте, u - на глобусе).

5.2.1. Искажения длин

Искажение длин - базовое искажение. Остальные искажения из него логически вытекают. Искажение длин означает непостоянство масштаба плоского изображения, что проявляется в изменении масштаба от точки к точке, и даже в одной и той же точке в зависимости от направления.
Это означает, что на карте присутствует 2 вида масштаба:

• главный масштаб (М);
• частный масштаб .

Главным масштабом карты называют степень общего уменьшения земного шара до определенных размеров глобуса, с которого земная поверхность переносится на плоскость. Он позволяет судить об уменьшении длин отрезков при перенесении их с земного шара на глобус. Главный масштаб записывается под южной рамкой карты, но это не значит, что отрезок измеренный в любом месте карты будет соответствовать расстоянию на земной поверхности.
Масштаб в данной точке карты по данному направлению называют частным . Он определяется как отношение бесконечно малого отрезка на карте dl К к соответствующему ему отрезку на поверхности эллипсоида dl З . Отношение частного масштаба к главному, обозначаемое через μ , характеризует искажение длин

(5.3)

Для оценки отклонения частного масштаба от главного пользуются понятием увеличения масштаба (С ), определяемого отношением

(5.4)

Из формулы (5.4) следует, что:

• при С = 1 частный масштаб равен главному масштабу (µ = M ), т. е. искажения длин в данной точке карты по дан ному направлению отсутствуют;
• при С > 1 частный масштаб крупнее главного (µ > M );
• при С < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).

Например, если при главном масштабе карты 1: 1 000 000 увеличение масштаба С равно 1,2, то µ = 1,2/1 000 000 = 1/833 333, т. е. одному сантиметру на карте соответствует примерно 8,3 км на местности. Частный масштаб крупнее главного (величина дроби больше).
При изображении поверхности глобуса на плоскости частные масштабы численно будут больше или меньше главного масштаба. Если принять главный масштаб равным единице (М = 1), то частные масштабы численно будут больше или меньше единицы. В этом случае под частным масштабом, численно равным увеличению масштаба, следует понимать отношение бесконечно малого отрезка в данной точке карты по данному направлению к соответствующему бесконечно малому отрезку на глобусе:

(5.5)

Отклонение частного масштаба (µ ) от единицы определяет искажение длины в данной точке карты по данному направлению (V ):

V = µ - 1 (5.6)

Часто искажение длины выражают в процентах к единице, т. е. к главному масштабу, и называют относительным искажением длины :

q = 100(µ - 1) = V×100 (5.7)

Например, при µ = 1,2 искажение длины V = +0,2 или относительное искажение длины V = +20%. Это означает, что отрезок длиной 1 см , взятый на глобусе, изобразится на карте отрезком длиной 1,2 см .
Судить о наличии на карте искажения длин удобно путем сравнения величины отрезков меридианов между соседними параллелями. Если они повсеместно равны, то искажения длин по меридианам нет, если такого равенства нет (рис. 5.5 отрезки АВ и CD ), то искажение длин линий имеется.

Рис. 5.4. Часть карты восточного полушария с показом картографических искажений

Если карта отображает такую большую территорию, что на ней показаны и экватор 0º и параллель 60° широты, то нетрудно по ней установить, имеется ли искажение длин вдоль параллелей. Для этого достаточно сравнить длину отрезков экватора и параллели с широтой 60° между соседними меридианами. Известно, что параллель 60° широты в два раза короче экватора. Если таково же соотношение указанных отрезков на карте, то искажения длин по параллелям нет; в противном случае оно имеется.
Наибольший показатель искажения длин у данной точки (большая полуось эллипса искажений) обозначают латинской буквой а , а самый меньший (малая полуось эллипса искажений) - b . Взаимно перпендикулярные направления, по которым действуют наибольший и наименьший показатели искажения длин, называют главными направлениями .
Для оценки различных искажений на картах из всех частных масштабов наибольшее значение имеют частные масштабы по двум направлениям: по меридианам и по параллелям. Частный масштаб по меридиану принято обозначать буквой m , а частный масштаб по параллели - буквой n.
В пределах мелкомасштабных карт сравнительно небольших территорий (например, Украины) отклонения масштабов длин от указанного на карте масштаба невелики. Ошибки при измерении длин в этом случае не превышают 2 - 2,5% от измеряемой длины, и ими в работе со школьными картами можно пренебречь. К некоторым картам для приближенных измерений прилагается измерительная масштабная линейка, сопровождаемая пояснительным текстом.
На морских картах , построенных в проекции Меркатора и на которых локсодромия изображается прямой линией, не дается специального линейного масштаба. Его роль выполняют восточная и западная рамки карты, представляющие собой меридианы, разбитые на деления через 1′ по широте.
В морской навигации расстояния принято оценивать в морских милях. Морская миля - это средняя длина дуги меридиана в 1′ по широте. Она заключает в себе 1852 м . Таким образом, рамки морской карты фактически разбиты на отрезки равные одной морской миле. Определив по прямой расстояние между двумя точками на карте в минутах меридиана, получают действительное расстояние в морских милях по локсодромии.

Рис 5.5. Измерение расстояний по морской карте.

5.2.2. Искажения углов

Искажения углов логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажений углов на карте принимают разность углов между направлениями на карте и соответствующими направлениями на поверхности эллипсоида.
За показатель искажения углов между линиями картографической сетки принимают величину отклонения их от 90° и обозначают его греческой буквой ε (эпсилон).
ε = Ө - 90°, (5.8)
где в Ө (тэта) - измеренный на карте угол между меридианом и параллелью.

На рисунке 5.4 обозначено, что угол Ө равен 115°, следовательно, ε = 25°.
В точке, где угол пересечения меридиана и параллели остается на карте прямым, углы между другими направлениями могут быть измененными на карте, поскольку в каждой данной точке величина искажения углов может изменяться с переменой направления.
За общий показатель искажения углов ω (омега) принимают наибольшее искажение угла в данной точке, равное разности его величины на карте и на поверхности земного эллипсоида (шара). При известны х показателях а и b величину ω определяют по формуле:

(5.9)

5.2.3. Искажения площадей

Искажения площадей логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажения площадей принимают отклонение площади эллипса искажений от исходной площади на эллипсоиде .
Простой способ выявления искаженности этого вида состоит в сравнении площадей клеток картографической сетки, ограниченных одноименными параллелями: при равенстве площадей клеток искажения нет. Это имеет место, в частности, на карте полушария (рис. 4,4), на которой заштрихованные клетки различаются по форме, но имеют одинаковую площадь.
Показатель искажения площадей (р ) вычисляют как произведение наибольшего и наименьшего показателей искажения длин в данном месте карты
p = а×b (5.10)
Главные направления в данной точке карты могут совпадать с линиями картографической сетки, но могут с ними не совпадать. Тогда показатели а и b по известным m и n вычисляют по формулам:

(5.11)
(5.12)

Входящий в уравнения показатель искажения р узнают в этом случае по произведению:

p = m×n×cos ε , (5.13)

Где ε (эпсилон) - величина отклонения угла пересечения картографической сетки от 9 0°.

5.2.4. Искажения форм

Искажение форм состоит в том, что форма участка или занятой объектом территории на карте отлична от их формы на уровенной поверхности Земли. Наличие искажения этого вида на карте можно установить путем сопоставления формы клеток картографической сетки, расположенных на одной широте: если они одинаковы, то искажения нет. На рисунке 5.4 две заштрихованные клетки различием формы свидетельствуют о наличии искажения данного вида. Можно также выявить искаженность формы определенного объекта (материка, острова, моря) по соотношению его ширины и длины на анализируемой карте и на глобусе.
Показатель искажения форм (k) зависит от различия наибольшего (а ) и наименьшего (b ) показателей искажения длин в данном месте карты и выражается формулой:

(5.14)

При исследовании и при выборе картографической проекции используют изоколы - линии равных искажений. Они могут наноситься на карту в виде пунктирных линий с целью показа величин искажений.

Рис. 5.6. Изоколы наибольших искажений углов

5.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРУ ИСКАЖЕНИЙ

Для различных целей создаются различные по характеру искажений проекции. Характер искажений проекции определяется отсутствием в ней определенных искажений (углов, длин, площадей). В зависимости от этого все картографические проекции по характеру искажений подразделяются на четыре группы:
— равноугольные (конформные);
— равнопромежуточные (эквидистантные);
—равновеликие (эквивалентные);
— произвольные.

5.3.1. Равноугольные проекции

Равноугольными называются такие проекции, в которых направления и углы изображаются без искажений. Углы, измеренные на картах равноугольных проекций, равны соответствующим углам на земной поверхности. Бесконечно малая окружность в этих проекциях всегда остается окружностью.
В равноугольных проекциях масштабы длин в любой точке по всем направлениям одинаковы, поэтому у них нет искажения формы бесконечно малых фигур и нет искажения углов (рис. 5.7, Б). Это общее свойство равноугольных проекций выражает формула ω = 0°. Но формы реальных (конечных) географических объектов, занимающих целые участки на карте, искажаются (рис. 5.8, а). У равноугольных проекций наблюдаются особенно большие искажения площадей (что отчетливо демонстрируют эллипсы искажений).

Рис. 5.7. Вид эллипсов искажений в проекциях равновеликих —- А, равноугольных — Б , произвольных — В , в том числе, равнопромежуточных по меридиану — Г и равнопромежуточных по параллели — Д. На схемах показано искажение угла 45°.

Эти проекции используются для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэтому их всегда используют на топографических и навигационных картах. Недостатком равноугольных проекций является то, что в них сильно искажаются площади (рис. 5.7, а).

Рис. 5.8. Искажения в цилиндрической проекции:
а - равноугольной; б - равнопромежуточной; в - равновеликой

5.6.2. Равнопромежуточные проекции

Равнопромежуточными проекциями называют проекции, у которых масштаб длин одного из главных направлений сохраняется (остается неизменным) (рис. 5.7, Г. рис. 5.7, Д.) Применяются главным образом для создания мелкомасштабных справочных карт и карт звездного неба.

5.6.3. Равновеликие проекции

Равновеликими называются проекции, в которых нет искажений площадей, т. е. площадь фигуры, измеренной на карте, равна площади этой же фигуры на поверхности Земли. В равновеликих картографических проекциях масштаб площади повсюду имеет одну и ту же величину. Это свойство равновеликих проекций можно выразить формулой:

P = a× b = Const = 1 (5.15)

Неизбежным следствием равновеликости этих проекций является сильное искажение у них углов и форм, что хорошо поясняют эллипсы искажений (рис. 5.7, A).

5.6.4. Произвольные проекции

К произвольным относятся проекции, в которых имеются искажения длин, углов и площадей. Необходимость использования произвольных проекций объясняется тем, что при решении некоторых задач возникает необходимость в измерении углов, длин и площадей на одной карте. Но ни одна проекция не может быть одновременно и равноугольной, и равнопромежуточной, и равновеликой. Ранее уже говорилось, что с уменьшением изображаемого участка поверхности Земли на плоскости уменьшаются и искажения изображения. При изображении небольших участков земной поверхности в произвольной проекции величины искажений углов, длин и площадей незначительны, и при решении многих задач их можно не учитывать.

5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ВИДУ НОРМАЛЬНОЙ КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ СЕТКИ

В картографической практике распространена классификация проекций по виду вспомогательной геометрической поверхности, которая может быть использована при их построении. С этой точки зрения выделяют проекции: цилиндрические , когда вспомогательной поверхностью служит боковая поверхность цилиндра; конические , когда вспомогательной плоскостью является боковая поверхность конуса; азимутальные , когда вспомогательная поверхность - плоскость (картинная плоскость).
Поверхности, на которые проектируют земной шар, могут быть к нему касательными или секущими его. Они могут быть и по-разному ориентированы.
Проекции, при построении которых оси цилиндра и конуса совмещались с полярной осью земного шара, а картинная плоскость, на которую проектировалось изображение, размещалась касательно в точке полюса, называются нормальными.
Геометрическое построение названных проекций отличается большой наглядностью.

5.4.1. Цилиндрические проекции

Для простоты рассуждения вместо эллипсоида воспользуемся шаром. Заключим шар в цилиндр, касательный по экватору (рис. 5.9, а).

Рис. 5.9. Построение картографической сетки в равновеликой цилиндрической проекции

Продолжим плоскости меридианов ПА, ПБ, ПВ, ... и примем пересечения этих плоскостей с боковой поверхностью цилиндра за изображение на ней меридианов. Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей аАа 1 и развернуть ее на плоскость, то меридианы изобразятся параллельными равноотстоящими прямыми линиями аАа 1 , бБб 1 , вВв 1 ..., перпендикулярными экватору АБВ.
Изображение параллелей может быть получено различными способами. Один из них - продолжение плоскостей параллелей до пересечения с поверхностью цилиндра, что даст в развертке второе семейство параллельных прямых линий, перпендикулярных меридианам.
Полученная цилиндрическая проекция (рис. 5.9, б) будет равновеликой , так как боковая поверхность шарового пояса АГЕД, равная 2πRh (где h - расстояние между плоскостями АГ и ЕД), соответствует площади изображения этого пояса в развертке. Главный масштаб сохраняется вдоль экватора; частные масштабы по параллели увеличиваются, а по меридианам уменьшаются по мере удаления от экватора.
Другой способ определения положения параллелей основан на сохранении длин меридианов, т. е. на сохранении главного масштаба вдоль всех меридианов. В этом случае цилиндрическая проекция будет равнопромежуточной по меридианам (рис. 5.8, б).
Для равноугольной цилиндрической проекции необходимо в любой точке постоянство масштаба по всем направлениям, что требует увеличения масштаба вдоль меридианов по мере удаления от экватора в соответствии с увеличением масштабов вдоль параллелей на соответствующих широтах (см. рис. 5.8, а).
Нередко вместо касательного цилиндра используют цилиндр, секущий сферу по двум параллелям (рис. 5.10), вдоль которых при развертке сохраняется главный масштаб. В этом случае частные масштабы вдоль всех параллелей между параллелями сечения будут меньше, а на остальных параллелях - больше главного масштаба.

Рис. 5.10. Цилиндр, секущий шар по двум параллелям

5.4.2. Конические проекции

Для построения конической проекции заключим шар в конус, касающийся шара по параллели АБВГ (рис. 5.11, а).

Рис. 5.11. Построение картографической сетки в равнопромежуточной конической проекции

Аналогично предыдущему построению продолжим плоскости меридианов ПА, ПБ, ПВ, ... и примем их пересечения с боковой поверхностью конуса за изображение на ней меридианов. После развертки боковой поверхности конуса на плоскости (рис. 5.11, б) меридианы изобразятся радиальными прямыми ТА, ТБ, ТВ,..., исходящими из точки Т. Обратите внимание на то, что углы между ними (схождение меридианов) будут пропорциональны (но не равны) разностям долгот. Вдоль параллели касания АБВ (дуги окружности радиусом ТА) сохраняется главный масштаб.
Положение других параллелей, изображающихся дугами концентрических окружностей, можно определить из определенных условий, одно из которых - сохранение главного масштаба вдоль меридианов (АЕ = Ае) - приводит к конической равнопромежуточной проекции.

5.4.3. Азимутальные проекции

Для построения азимутальной проекции воспользуемся плоскостью, касательной к шару в точке полюса П (рис. 5.12). Пересечения плоскостей меридианов с касательной плоскостью дают изображение меридианов Па, Пе, Пв,... в виде прямых, углы между которыми равны разностям долгот. Параллели, являющиеся концентрическими окружностями, могут быть определены различным путем, например, проведены радиусами, равными выпрямленным дугам меридианов от полюса до соответствующей параллели ПА = Па. Такая проекция будет равнопромежуточной по меридианам и сохраняет вдоль них главный масштаб.

Рис. 5.12. Построение картографической сетки в азимутальной проекции

Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции, построенные по законам геометрической перспективы. В этих проекциях каждая точка поверхности глобуса переносится на картинную плоскость по лучам, выходящим из одной точки С , называемой точкой зрения. В зависимости от положения точки зрения относительно центра глобуса проекции подразделяются на:

• центральные - точка зрения совпадает с центром глобуса;
• стереографические - точка зрения располагается на поверхности глобуса в точке, диаметрально противоположной точке касания картинной плоскости к поверхности глобуса;
• внешние - точка зрения вынесена за пределы глобуса;
• ортографические - точка зрения вынесена в бесконечность, т. е. проектирование осуществляется параллельными лучами.

Рис. 5.13. Виды перспективных проекций: а - центральная;
б - стереографическая; в - внешняя; г - ортографическая.

5.4.4. Условные проекции

Условные проекции - проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др. В частности, к условным принадлежат псевдоцилиндрические, псевдоконические, псевдоазимутальные и другие проекции, полученные путем преобразования одной или нескольких исходных проекций.
У псевдоцилиндрических проекций экватор и параллели - прямые, параллельные друг другу линии (что роднит их с цилиндрическими проекциями), а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (рис. 5.14)

Рис. 5.14. Вид картографической сетки в псевдоцилиндрической проекции.

У псевдоконических проекций параллели - дуги концентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (рис. 5.15);

Рис. 5.15. Картографическая сетка в одной из псевдоконических проекций

Построение сетки в поликонической проекции можно представить путем проектирования участков градусной сетки глобуса на поверхность нескольких касательных конусов и последующей развертки в плоскость образовавшихся на поверхности конусов полос. Общий принцип такого проектирования показан на рисунке 5.16.

Рис. 5.16. Принцип построения поликонической проекции:
а - положение конусов; б - полосы; в - развертка

Буквами S на рисунке обозначены вершины конусов. На каждый конус проектируют широтный участок поверхности глобуса, примыкающий к параллели касания соответствующего конуса.
Для внешнего облика картографических сеток в поликонической проекции характерно, что меридианы имеют форму кривых линий (кроме среднего — прямого), а параллели — дуги эксцентрических окружностей.
В поликонических проекциях, используемых для построения мировых карт, приэкваториальный участок проектируют на касательный цилиндр, поэтому на полученной сетке экватор имеет форму прямой линии, перпендикулярной среднему меридиану.
После развертки конусов получают изображение этих участков в виде полос на плоскости; полосы соприкасаются по среднему меридиану карты. Окончательный вид сетка получает после ликвидации разрывов между полосами путем растяжений (рис. 5.17).

Рис. 5.17. Картографическая сетка в одной из поликонических

Многогранные проекции - проекции, получаемые путем проектирования на поверхность многогранника (рис. 5.18), касательного или секущего шар (эллипсоид). Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию, хотя возможны и иные варианты (например, шестиугольники, квадраты, ромбы). Разновидностью многогранных являются многополосные проекции, причем полосы могут «нарезаться» и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции выгодны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы совсем невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Топографические и обзорно-топографические создают исключительно в многогранной проекции, и рамка каждого листа представляет собой трапецию, составленную линиями меридианов и параллелей. За это приходится "расплачиваться" - блок листов карт нельзя совместить по общим рамкам без разрывов.

Рис. 5.18. Схема многогранной проекции и расположение листов карт

Необходимо отметить, что в наши дни для получения картографических проекций не пользуются вспомогательными поверхностями. Никто не помещает шар в цилиндр и не надевает на него конус. Это всего лишь геометрические аналогии, позволяющие понять геометрическую суть проекции. Изыскание проекций выполняют аналитически. Компьютерное моделирование позволяет достаточно быстро рассчитать любую проекцию с заданными параметрами, а автоматические графопостроители легко вычерчивают соответствующую сетку меридианов и параллелей, а при необходимости - и карту изокол.
Существуют специальные атласы проекций, позволяющие подобрать нужную проекцию для любой территории. В последнее время созданы электронные атласы проекций, с помощью которых легко отыскать подходящую сетку, сразу оценить ее свойства, а при необходимости провести в интерактивном режиме те или иные модификации или преобразования.

5.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ОРИЕНТИРОВАНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Нормальные проекции - плоскость проектирования касается земного шара в точке полюса или ось цилиндра (конуса) совпадает с осью вращения Земли (рис. 5.19).

Рис. 5.19. Нормальные (прямые) проекции

Поперечные проекции - плоскость проектирования касается экватора в какой-либо точке или ось цилиндра (конуса) совпадает с плоскостью экватора (рис. 5.20).

Рис. 5.20. Поперечные проекции

Косые проекции - плоскость проектирования касается земного шара в любой заданной точке (рис. 5.21).

Рис. 5.21. Косые проекции

Из косых и поперечных проекций наиболее часто используют косые и поперечные цилиндрические, азимутальные (перспективные) и псевдоазимутальные проекции. Поперечные азимутальные применяют для карт полушарий, косые - для территорий, имеющих округлую форму. Карты материков часто составляют в поперечных и косых азимутальных проекциях. Поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса - Крюгера применяется для государственных топографических карт.

5.6. ВЫБОР ПРОЕКЦИЙ

На выбор проекций влияет много факторов, которые можно сгруппировать следующим образом:

• географические особенности картографируемой территории, ее положение на Земном шаре, размеры и конфигурация;
• назначение, масштаб и тематика карты, предполагаемый круг потребителей;
• условия и способы использования карты, задачи, которые будут решаться по карте, требования к точности результатов измерений;
• особенности самой проекции - величины искажений длин, площадей, углов и их распределение по территории, форма меридианов и параллелей, их симметричность, изображение полюсов, кривизна линий кратчайшего расстояния.

Первые три группы факторов задаются изначально, четвертая - зависит от них. Если составляется карта, предназначенная для навигации, обязательно должна быть использована равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора. Если картографируется Антарктида, то почти наверняка будет принята нормальная (полярная) азимутальная проекция и т.д.
Значимость названных факторов может быть различной: в одном случае на первое место ставят наглядность (например, для настенной школьной карты), в другом - особенности использования карты (навигация), в третьем - положение территории на земном шаре (полярная область). Возможны любые комбинации, а следовательно - и разные варианты проекций. Тем более что выбор очень велик. Но все же можно указать некоторые предпочтительные и наиболее традиционные проекции.
Карты мира обычно составляют в цилиндрических, псевдоцилиндрических и поликонических проекциях. Для уменьшения искажений часто используют секущие цилиндры, а псевдоцилиндрические проекции иногда дают с разрывами на океанах.
Карты полушарий всегда строят в азимутальных проекциях. Для западного и восточного полушарий естественно брать поперечные (экваториальные), для северного и южного полушарий - нормальные (полярные), а в других случаях (например, для материкового и океанического полушарий) — косые азимутальные проекции.
Карты материков Европы, Азии, Северной Америки, Южной Америки, Австралии с Океанией чаще всего строят в равновеликих косых азимутальных проекциях, для Африки берут поперечные, а для Антарктиды - нормальные азимутальные.
Карты отдельных стран , административных областей, провинций, штатов выполняют в косых равноугольных и равновеликих конических или азимутальных проекциях, но многое зависит от конфигурации территории и ее положения на земном шаре. Для небольших по площади районов задача выбора проекции теряет актуальность, можно использовать разные равноугольные проекции, имея в виду, что искажения площадей на малых территориях почти неощутимы.
Топографические карты Украины создают в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса, а США и многие другие западные страны - в универсальной поперечно-цилиндрической проекции Меркатора (сокращенно UТМ). Обе проекции близки по своим свойствам; по существу та и другая являются многополостными.
Морские и аэронавигационные карты всегда даются исключительно в цилиндрической проекции Меркатора, а тематические карты морей и океанов создают в самых разнообразных, иногда довольно сложных проекциях. Например, для совместного показа Атлантического и Северного Ледовитого океанов применяют особые проекции с овальными изоколами, а для изображения всего Мирового океана - равновеликие проекции с разрывами на материках.
В любом случае при выборе проекции, в особенности для тематических карт, следует иметь в виду, что обычно искажения на карте минимальны в центре и быстро возрастают к краям. Кроме того, чем мельче масштаб карты и обширнее пространственный охват, тем большее внимание приходится уделять «математическим» факторам выбора проекции, и наоборот - для малых территорий и крупных масштабов более существенными становятся «географические» факторы.

5.7. РАСПОЗНАВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ

Распознать проекцию, в которой составлена карта, - значит установить ее название, определить принадлежность к тому или иному виду, классу. Это нужно для того, чтобы иметь представление о свойствах проекции, характере, распределении и величине искажений - словом, для того, чтобы знать, как пользоваться картой, чего от нее можно ожидать.
Некоторые нормальные проекции сразу распознаются по виду меридианов и параллелей. Например, легко узнаваемы нормальные цилиндрические, псевдоцилиндрические, конические, азимутальные проекции. Но даже опытный картограф не сразу распознает многие произвольные проекции, потребуются специальные измерения по карте, чтобы выявить их равноугольность, равновеликость или равнопромежуточность по одному из направлений. Для этого существуют особые приемы: сперва устанавливают форму рамки (прямоугольник, окружность, эллипс), определяют, как изображены полюсы, затем измеряют расстояния между соседними параллелями вдоль по меридиану, площади соседних клеток сетки, углы пересечения меридианов и параллелей, характер их кривизны и т.п.
Существуют специальные таблицы-определители проекций для карт мира, полушарий, материков и океанов. Проведя необходимые измерения по сетке, можно отыскать в такой таблице название проекции. Это даст представление о ее свойствах, позволит оценить возможности количественных определений по данной карте, выбрать соответствующую карту с изоколами для внесения поправок.

Видео
Виды проекций по характеру искажений

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие элементы составляют математическую основу карты?
2. Что называют масштабом географической карты?
3. Что называют главным масштабом карты?
4. Что называют частным масштабом карты?
5. Чем обусловлено отклонение частного масштаба от главного на географической карте?
6. Как измерить расстояние между точками на морской карте?
7. Что представляет собой эллипс искажений и для каких целей он используется?
8. Как можно определить по эллипсу искажений наибольший и наименьший масштабы?
9. Какие существует методы переноса поверхности земного эллипсоида на плоскость, в чем их сущность?
10. Что называют картографической проекцией?
11. Как классифицируют проекции по характеру искажений?
12. Какие проекции называют равноугольными, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
13. Какие проекции называют равнопромежуточными, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
14. Какие проекции называют равновеликими, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
15. Какие проекции называют произвольными?

3. И наконец заключительным этапом создания карты является отображение уменьшенной поверхность эллипсоида на плоскости, т.е. применение картографической проекции (математический способ изображения на плоскости пов-ти эллипсоида.).

Поверхность эллипсоида нельзя без искажения развернуть на плоскость. Поэтому она проецируется на фигуру, которую можно развернуть на плоскость (Рис). При этом возникают искажения углов между параллелями и меридианами, расстояний, площадей.

Существует несколько сотен проекций, которые используются в картографии. Разберем далее их основные типы, не вдаваясь во все многоообразие деталей.

В соответствии с типом искажений проекци деляться на:

1. Равноугольные (конформные) – проекции, не искажающие углов. При этом сохраняется подобие фигур, масштаб изменяется с изменением широты и долготы. Отношение площадей не сохраняется на карте.

2. Равновеликие (эквивалентные) – проекции, на которых масштаб площадей везде одинаков и площади на картах пропорциональны соответствующим площадям на Земле. Однако масштаб длин в каждой точке разный по разным направлениям. не сохраняются равенство углов и подобие фигур.

3. Равнопромежуточные проекции- проекции, сохраняющие постоянство масштаба по одному из главных направлений.

4. Произвольные проекции - проекции, не относящиеся ни к одной из рассмотренных групп, но обладающие какими-либо другими, важными для практики свойствами, называются произвольными.

Рис. Проецирование эллипсоида на фигуру, разворачиваемую в плоскость.

В зависимости от того на какую фигуру проецируется поверхность эллипсоида (цилиндр, конус или плоскость) проекции делятся на три основных типа: цилиндрические, конические и азимутальные. Тип фигуры, на которую проецируется эллипсоид определяет вид параллелей и меридианов на карте.

Рис. Различие проекций по типу фигур на которую проецируется поверхность эллипсоида и вид разверток этих фигур на плоскости.

В свою очередь в зависимости от ориентации цилундра либо конуса относительно эллипсоида цилиндрические и конические проекции могут быть: прямыми - ось цилиндра или конуса совпадает с осью Земли, поперечными - ось цилиндра или конуса перпендикулярна оси Земли и косыми - ось цилиндра или конуса наклонена к оси Земли под углом, отличным от 0° и 90°.

Рис. Различие проекций по ориентации фигуры на которую проецируется эллипсоид относительно Земной оси.

Конус и цилиндр могут либо касаться поверхности эллипсоида, либо пересекать ее. Взависимости от этого проекция будет касательная или секущая. Рис.

Рис. Касательная и секущая проекции.

Нетрудно заметить (рис), что длина линии на эллипсоиде и длина линии на фигуре которую он проецируется будет одна и таже вдоль экватора, касательной к конусу для касательной проекции и вдоль секущих линий конуса и цилиндра при секущей проекции.

Т.е. для этих линий масштаб карты будет точно соответствовать масштабу эллипсоида. Для остальных точек карты масштаб будет несколько больше или меньше. Это необходимо учитывать при нарезке листов карты.

Касательная к конусу для касательной проекции и секущие конуса и цилиндра для секущей проекции называются стандартными параллелями.

Для азимутальной проекции также существует несколько разновидностей.

В зависимости от ориентации касательной к эллипсоиду плоскости азумутальная проеция может быль полярной, экваториальной или косой (рис)

Рис. Виды Азимутальной проекции по положению касательной плоскости.

В зависимости от положения воображаемого источника света, который проецирует эллипсоид на плоскость – в центре эллипсоида, на полюсе, или на бесконечном удалении различают гномоническую (цетрально-перспективную), стереографическую и ортографическую проекции рис

Рис. Виды азимутальной проеции по положению воображаемого источника света.

Географические координаты любой точки эллипсоида остаются неизменными при любом выборе картографической проекции (определяются только выбранной системой «географических» координат). Однако наряду с географическими, для проекций эллипсоида на плоскости используют так называемые спроектированная системы координат. Это прямоугольные системы координат - с началом координат в определенной точке, чаще всего имеющей координаты 0,0. Координаты в таких системах измеряются в единицах длины (метрах). Более подробно об этом речь пойдет ниже при рассмотрении конкретных проекций. Часто при упоминании о системы координат слова «географические» и «спроецированная», опускают, что приводит к некоторой путанице. Географические координаты определяются выбранным эллипсоидом и его привязками к геоиду, «спроецированные» - выбранным типом проекции уже после выбора эллипсоида. В зависимости от выбранной проекции одним «географическим» координатам могут соответствовать разные «спроецированные». И наобоот одним и тем же «спроецированным» координатам могут соответствовать разные «географические», если проекция применена к разным эллипсоидам. На картах могут обозначаться одновременно как те так и другие координаты и «спроецированные» тоже являются географическими, если понимать дословно, что они описывают Землю. Подчеркнем, еще раз, что принципиальным является то, что «спроецированные» координаты связаны с типом проекции и измеряются, в единицах длины (метрах), а «географические» не зависят от выбранной проекции.

Рассмотрим теперь более детально две картографические проекции, наиболее важные для практической работе в археологии. Это проекция Гаусса-Крюгера и проекция Universal Transverse Mercator (UTM) – разновидности равноугольной поперечно (transverse)-цилиндрической проекции. Проекцию называют по имени флпмпндского картографа Меркатора, впервые применившему прямую цилиндрическую проекцию при создании карт.

Первая из этих проекций была разработана немецким математиком Карлом Фридррихом Гауссом в 1820-30 гг. для картографирования Германии - так называемой ганноверской триангуляции. Как истинно великий математик, он решил эту частную задачу в общем виде и сделал проекцию, пригодную для картографирования всей Земли. Математическое описание проекции было опубликовано в 1866 г. В 1912-19 гг. другой немецкий математик Крюгер Иоганнес Генрих Луис провел исследование этой проекции и разработал для нее новый, более удобный математический аппарат. С этого времени проекция называется по их именам - проекцией Гаусса-Крюгера

Проекция UTM была разработана после Второй Мировой Войны, когда страны НАТО пришли к согласию, что необходима стандартная пространственная система координат. Так как каждая из армий стран НАТО использовала свою собственную пространственную систему координат, было невозможным точно координировать военные перемещения между странами. Опрделение параметров системы UTM было опубликовано Армией США в 1951 г.

Для получения картографической сетки и составления по ней карты в проекции Гаусса-Крюгера поверхность земного эллипсоида разбивают по меридианам на 60 зон по 6° каждая. Как нетрудно заметить это соответствует разбиению Земного шара на 6°-е зоны при построении карты масштаба 1:100000. Зоны нумеруются с запада на восток, начиная с 0°: зона 1 простирается с меридиана 0° до меридиана 6°, ее центральный меридиан 3°. Зона 2 - с 6° до 12°, и т. д. Нумерация номенклатурных листов начинается с 180°, например, лист N-39 находится в 9-й зоне.

Для связи долготы точки λ и номера n зоны в которой точка находится можно использовать соотношения:

в Восточном полушарии n = (целая часть от λ/ 6°) + 1, где λ – градусы восточной долготы

в Западном полушарии n = (целая часть от (360-λ)/ 6°) + 1, где λ – градусы западной долготы.

Рис. Разбиение на зоны в проекции Гауса-Крюгера.

Далле каждая из зон проектируется на поверхность цилиндра, а цилиндр разрезается по образующей и разворачивается на плоскость. Рис

Рис. Система координат в пределах 6 градусных зон в проекциях ГК и UTM.

В проекции Гаусса-Крюгера цилиндр касается эллипсоида по центральному меридиану и масштаб вдоль него равен 1. рис

Для каждой зоны отсчет координат X, Y ведется в метрах от начала координат зоны, причем Х расстояние от экватора (по вертикали!), а Y- по горизонтали. Вертикальные линии сетки параллельны центральному меридиану. Начало координат смещено, от центрального меридиана зоны на запад (или центр зоны смещен на восток, для обозначения этого смещения часто используют английский термин – «false easting») на 500000 м для того, чтобы координата Х была положительной во всей зоне т. е. координата X на центральном меридиане равна 500 000 м.

В южном полушарии в тех же целях вводится северное смещение (false northing) 10 000 000 м.

Координаты записыватся в виде Х=1111111.1 м, Y=6222222,2 м либо

X s =1111111.0 м, Y=6222222,2 м

X s - означает, что точка в южном полушарии

6 – первая или две первые цифры в Y координате (соответственно всего 7 или 8 цифр до запятой) означают номер зоны. (Санкт-Петербург, Пулково -30 град 19 минут восточной долготы 30:6+1=6 - 6 зона).

В проекции Гаусса–Крюгера для эллипсоида Красовского составлены все топографические карты СССР масштаба 1:500000 и крупнее применение этой проекции в СССР началовсь в 1928 году.

2. Проекция UTM в целом аналогична проеции Гаусса-Крюгера, однако нумерация 6-градусных зон ведется по другому. Отсчет зон происходит от 180 меридиана на восток, таким образом номер зоны в проекции UTM на 30 больше, чем системе координат Гаусса-Крюгера (Санкт-Петербург, Пулково -30 град 19 минут восточной долготы 30:6+1+30=36 - 36 зона).

Кроме того UTM - это проекция на секущий цилиндр и масштаб равен единице вдоль двух секущих линий, отстоящих от центрального меридиана на 180 000 м.

В проекции UTM координаты приводятся в виде: Северное полушарие, 36 зона, N (северное положение)=1111111.1 м, E (восточное положение)=222222.2м. Начало координат каждой зоны также смещено на 500000 м на запад от центрального меридиана и на 10000000 на юг от экватора для южного полушария.

В проекции UTM составлены современные карты многих стран Европы.

Сравнение проекций Гаусса-Крюгера и UTM приведено в таблице

Параметр	UTM	Гаус-Крюгер
Величина зоны	6 градусов	6 градусов
Нулевой меридиан	-180 градусов	0 градусов (Гринвич)
Масштаб коэф = 1	Секущие на расст 180 км от центр.меридиана зоны	Центральный меридиан зоны.
Центральный меридиан иоответствующая ему зона	3-9-15-21-27-33-39-45 и.т.д 31-32-33-34-35-35-37-38-…	3-9-15-21-27-33-39-45 и.т.д 1-2-3-4-5-6-7-8-…
Соответствующая центр мердиану зона	31 32 33 34
Масштабный коэфф. по центральному меридиану	0,9996
Ложный восток (м)	500 000	500 000
Ложный север (м)	0 – северное полушарие	0 – северное полушарие
		10 000 000 – южное полушарие

Забегая вперед следует отметить, что большинство GPS навигаторов может показывать координаты в поекции UTM, но не могут в проекции Гаусса-Крюгера для эллипсода Красовского (т.е. в системе координат СК-42).

Каждый лист карты или плана имеет законченное оформление. Основными элементами листа являются: 1) собственно картографическое изображение участка земной поверхности, координатная сетка; 2) рамка листа, элементы которой определены математической основой; 3) зарамочное оформление (вспомогательное оснащение), которое включает данные, облегчающие пользование картой.

Картографическое изображение листа ограничивается внутренней рамкой в виде тонкой линии. Северная и южная стороны рамки - отрезки параллелей, восточная и западная - отрезки меридианов, значение которых определяется общей системой разграфки топографических карт. Значения долготы меридианов и широты параллелей, ограничивающих лист карты, подписываются возле углов рамки: долгота на продолжении меридианов, широта на продолжении параллелей.

На некотором расстоянии от внутренней рамки вычерчивается так называемая минутная рамка, на которой показаны выходы меридианов и параллелей. Рамка представляет собой двойную линию, расчерченную на отрезки, соответствующие линейной протяженности 1" меридиана или параллели. Количество минутных отрезков на северной и южной сторонах рамки равно разности значений долготы западной и восточной сторон. На западной и восточной сторонах рамки количество отрезков определяется разностью значений широты северной и южной сторон.

Завершающим элементом является внешняя рамка в виде утолщенной линии. Часто она составляет одно целое с минутной рамкой. В промежутках между ними дается разметка минутных отрезков на десятисекундные, границы которых отмечены точками. Это упрощает работу с картой.

На картах масштаба 1: 500 000 и 1: 1 000 000 дается картографическая сетка параллелей и меридианов, а на картах масштаба 1: 10 000 - 1: 200 000 - координатная сетка, или километровая, так как линии ее проводятся через целое число километров (1 км в масштабе 1: 10 000 - 1: 50 000, 2 км в масштабе 1: 100 000, 4 км в масштабе 1: 200 000).

Значения километровых линий подписываются в промежутках между внутренней и минутной рамками: абсциссы на концах горизонтальных линий, ординаты на концах вертикальных. У крайних линий указываются полные значения координат, у промежуточных - сокращенные (только десятки и единицы километров). Кроме обозначений на концах часть километровых линий имеет подписи координат внутри листа.

Важным элементом зарамочного оформления являются сведения о среднем на территорию листа карты магнитном склонении, относящиеся к моменту его определения, и годовом изменении магнитного склонения, которые помещают на топографических картах масштаба 1:200 000 и крупнее. Как известно магнитный и географический полюса не совпадают и стрелка копмаса показывает направление несколько отличающееся от на правленя на географический пояс. Величину этого отклонения и называют магнитным склонением. Оно может быть восточное, либо западное. Прибавив к величине магнитного склонения годовое изменение магнитного склонения, умноженное на число лет пошедщих с момента создания карты до текущего момента определить магнитное склонение на текущий момент.

В заключении темы об основах картографии остановимся кратко на истории картографии в России.

Первые карты с отображенной географической системой координат (карты России Ф. Годунова (издана в 1613г.), Г. Геритса, И. Массы, Н. Витсена) появились в XVII веке.

В соответствии с законодательным актом русского правительства (боярским “приговором”) от 10 января 1696 «О снятии чертежа Сибири на холсте с показанием в оном городов, селений, народов и расстояний между урочищами» С.У. Ремизовым (1642-1720) создается огромное (217х277 см) картографическое произведение «Чертеж всех сибирских градов и земель», ныне находится в постоянной экспозиции Государственного Эрмитажа. 1701 г. - 1 января – дата, стоящая на первом титульном листе Атласа России Ремизова.

В 1726-34 гг. выходит в свет первый Атлас Всероссийской Империи, руководителем работ по созданию которого был обер-секретарь Сената И. К. Кириллов. Атлас был издан на латинском языке, и состоял из 14 специальных и одной генеральной карты под заглавием "Atlas Imperii Russici". В 1745 году был издан "Атлас Всероссийский". Первоначально работами по составлению атласа руководил академик, астроном И. Н. Делиль, представивший в 1728 г. проект составления атласа Российской империи. Начиная с 1739 года выполнение работ по составлению атласа осуществлял учрежденный по инициативе Делиля Географический департамент Академии Наук, задачей которого было составление карт России. Атлас Делиля включает комментарии к картам, таблицу с географическими координатами 62 городов России, легенду карт и сами карты: Европейской России на 13 листах при масштабе 34 версты в дюйме (1:1428000), Азиатской России на 6 листах в меньшем масштабе и карту всей России на 2-х листах в масштабе около 206 верст в дюйме (1:8700000) Атлас издан в виде книги параллельными изданиями на русском и латинском языках с приложением Генеральной Карты.

При создании атласа Делиля большое внимание уделялось математической основе карт. Впервые в России проводилось астрономическое определение координат опорных пунктов. В таблице с координатами указан способ их определения – "по достоверным основаниям" либо "при сочинении карты" В течение XVIII века в общей сложности было сделано 67 полных астрономических определений координат, относящихся к наиболее важным городам России, а также выполнено 118 определений пунктов по широте. На территории Крыма были определены 3 пункта.

Со второй половины XVIII в. роль главного картографо-геодезического учреждения России постепенно стало выполнять Военное ведомство

В 1763 г. был создан Особый Генеральный штаб. Туда были отобраны несколько десятков офицеров, которыеофицеры командировались для снятия районов расположения войск, маршрутов их возможного следования, дорог, по которым проходили сообщения воинскими подразделениями. По сути эти офицеры были первыми российскими военными топографами, которые выполнили первичный объем работ по картографированию страны.

В 1797 г. было учреждено Депо карт. В декабре 1798 г. Депо получило право контроля над всеми топографическими и картографическими работами в империи, а в 1800 г. к нему был присоединен Географический департамент. Все это сделало Депо карт центральным картографическим учреждением страны. В 1810 г. Депо карт перешло в ведение военного министерства.

8 февраля (27 января по старому стилю) 1812 г., когда было высочайшее утверждено «Положение для Военного Топографического Депо» (далее ВТД), в которое Депо карт вошло как особое отделение – архив военно-топографического депо. Приказом Министра обороны Российской Федерации от 9 ноября 2003 г. становлена дата годового праздника ВТУ ГШ ВС РФ – 8 февраля.

В мае 1816 г. ВТД было введено в состав Главного штаба, при этом директором ВТД назначался начальник Главного штаба. С этого года ВТД (независимо от переименований) постоянно находится в составе Главного или Генерального штаба. ВТД руководило созданным в 1822 году Корпусом топографов (после 1866 года -Корпусом военных топографов)

Важнейшими результатами работ ВТД на протяжении почти целого столетия после его создания являются три большие карты. Первая - специальная карта европейской России на 158 листах, размером 25х19 дюймов, в масштабе 10 верст в одном дюйме (1:420000). Вторая - военно-топографической карты Европейской России в масштабе 3 версты в дюйме (1:126000), проекция карты коническая Бонна, долгота считается от Пулково.

Третья - карта Азиатской России на 8 листах размером 26х19 дюймов, в масштабе 100 верст в дюйме (1:42000000). Кроме этого для части России, особенно для приграничных районов были подготовлены карты в полуверстовом (1:21000) и верстовом (1:42000) масштабе (на эллипсоиде Бесселя и проекции Мюфлинга).

В 1918 г. в состав созданного Всероссийского Главного штаба вводится Военно-топографическое управление (правопреемник ВТД), которое в дальнейшем до 1940 г. принимало разные названия. В подчинении этого управления на ходится и корпус военных топографом. С 1940 г. по настоящее время оно именуется «Военно-топографическое управление Генерального штаба Вооруженных Сил».

В 1923 года Корпус военных топографов был преобразован в военно-топографическая службу.

В 1991 году, была образована Военно-топографическая служба Вооружённых сил России, которая в 2010 году была преобразована в Топографическую службу Вооружённых сил Российской Федерации.

Следует сказать так же о возможности использования топографических карт в исторических исследованиях. Мы будем говорить только о топографических картах, созданных в XVII веке и позднее, построение которых опиралось на математические законы и специально проводившееся систематическое обследование территории.

Общие топографические карты отражают физическое состояние местности и ее топонимику на момент составления карты.

Карты мелких масштабов (более 5 верст в дюйме – мельче 1:200000) возможно использовать для локализации указанных на них объектов, лишь с большой неопределенностью в координатах. Ценность содержащейся информации в возможности выявления изменения топонимики территории, главным образом при ее сохранении. Действительно, отсутствие топонима на более поздней карте может свидетельствовать об исчезновении объекта, изменении названия, либо просто о его ошибочном обозначении, в то же время как его наличие будет подтверждать более старую карту причем, как правило, в таких случаях возможна более точная локализация..

Карты крупных масштабов дают наиболее полную информацию о территории. Они могут быть непосредственно использованы для поиска обозначенных на них и сохранившихся до настоящего времени объектов. Развалины построек являются одним из элементов, входящим в легенду топографических карт, и, хотя, лишь немногие из обозначенных развалин относятся к памятникам археологии, их идентификация является вопросом, заслуживающим рассмотрения.

Координаты сохранившихся объектов, определенные по топографическим картам СССР, либо путем непосредственных измерений при помощи глобальной космической системы местоопределения (GPS), могут быть использованы для привязки старых карт к современным системам координат. Однако даже карты начала-середины XIX века могут на отдельных участках территории содержать значительные искажения пропорций местности и процедура привязки карт состоит не только из соотнесений начал отсчета координат, но требует неравномерного растяжения или сжатия отдельных участков карты, которое осуществляется на основе знания координат большого количества опорных точек (так называемая трансформация изображения карты).

После проведения привязки, возможно, осуществить сравнение знаков на карте, с объектами присутствующими на местности в настоящее время, либо существовавшими в периоды предшествующие или последующие времени ее создания. Для этого необходимо производить сопоставление имеющихся карт разных периодов и масштабов.

Крупномасштабные топографические карты XIX века представляются весьма полезными при работе с межевыми планами XVIII - XIX веков, как связующее звено между этими планами и крупномасштабными картами СССР. Межевые планы составлялись во многих случаях без обоснования на опорных пунктах, с ориентировкой по магнитному меридиану. В силу изменений характера местности, вызванных природными факторами и деятельностью человека, непосредственное сопоставление межевых и прочих детальных планов прошлого века и карт XX века не всегда возможно, однако сопоставление детальных планов прошлого века с современной им топографической картой представляется более простым.

Еще одна интересная возможность применения крупномасштабных карт их использование для изучения изменений контуров берега. За последние 2,5 тысячи лет уровень, например, Черного моря повысился, как минимум на несколько метров. Даже за прошедшие с момента создания первых карт Крыма в ВТД два столетия, положение береговой линии в ряде мест могло сместиться на расстояние от нескольких десятков до сотен метров, главным образов вследствие абразии. Такие изменения вполне соизмеримы с размерами достаточно крупных по античным меркам поселений. Выявление поглощенных морем участков территории может способствовать открытию новых археологических памятников.

Естественно, что основными источниками по территории Российской империи для указанных целей, могут выступать трехверстная и верстовая карты. Использование геоинформационных технологий позволяет накладывать друг на друга и привязывать их к современным картам, совмещать слои крупномасштабных топографических карт различного времени и далее дробить их на планы. Причем планы создаваемые сейчас, как и планы XX века, окажутся привязанными к планам XIX века.

Современные значения параметров Земли: Экваториальный радиус, 6378 км. Полярный радиус, 6357 км. Средний радиус Земли, 6371 км. Длина экватора, 40076 км. Длина меридиана, 40008 км...

Здесь, конечно, надо учитывать, что величина самого «стадия» вопрос дискуссионный.

Диоптр - прибор, служащий для направления (визирования) известной части угломерного инструмента на данный предмет. Направляемая часть снабжается обыкновенно двумя Д. - глазным , с узким прорезом, и предметным , с широким прорезом и волоском, натянутым посередине (http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.php/Диоптр).

По материалам сайта http://ru.wikipedia.org/wiki/Советская _система_разгравки_и_номенклатуры_топографических_карт#cite_note-1

Герхард Меркатор (1512 - 1594) - латинизированное имя Герарда Кремера (и латинская, и германская фамилии означают «купец»), фламандского картографа и географа.

Описание зарамочного оформления приводится по работе: «Топография с основами геодезии». Под ред. А.С.Харченко и А.П.Божок. М - 1986

С 1938 года в течении 30 лет ВТУ (при Сталине, Маленкове, Хрущеве, Брежневе) возглавлял генерал М.К.Кудрявцев. Никто на подобной должности ни в одной армии мира такое время не держался.